В розглянутих задачах теорії ігор передбачалося, що в них беруть участь два учасники, інтереси яких протилежні. Тому дії кожного гравця направлені на збільшення виграшу (зменшення програшу). Проте в багатьох задачах, що зводяться до ігрових, невизначеність викликана відсутністю інформації про умови, в яких здійснюється дія. Ці умови залежать не від свідомих дій іншого гравця, а від об’єктивної дійсності, яку прийнято називати природою. Такі ігри називаються іграми з природою. Людина А в іграх з природою прагне діяти обачно, використовуючи, наприклад, мінімаксну стратегію, що дозволяє отримати якнайменший програш. Другий гравець В (природа) діє абсолютно випадково, можливі стратегії визначаються як її стани (наприклад, умови погоди в даному районі, попит на певну продукцію, об'єм перевезень, деяке поєднання виробничих чинників і т. д.). Саме не зловмисність і непередбачуваність другого гравця, тобто природи, викликає інтерес до статистичних ігор. Об'єктом даної роботи є статистичні ігри, а конкретно - загальний вид гри з природою, її структура, особливості, методи розв’язання. Метою даної роботи є аналіз структури статистичних ігор, їх особливостей і відмінностей від інших задач теорії ігор, а також вивчення методів розв’язку статистичних ігор і практичне їх застосування.

Задача даної роботи – провести детальний аналіз статистичних ігор, а також практично застосувати методи їх розв’язку.

Структура роботи. Відповідно до мети і задачі, дана робота складається із вступу, теоретичної частини (2 пункти, 7 підпунктів), практичної частини, висновків і списку літератури. В теоретичній частині розглядається загальна теорія курсової роботи, в практичній частині – приклад розв’язку статистичної задачі з використанням методів розв’язку, приведених в теоретичній частині.

1. Теоретична частина

1.1 Структура статистичних ігор

1.1.1 Стратегічні і статистичні ігри

Специфічним видом ігор, що мають велике значення при аналізі різних практичних ситуацій, є статистичні ігри. Вони мають ряд істотних відмінностей від стратегічних ігор. В основі теорії стратегічних ігор лежить припущення, що інтереси двох гравців протилежні. Кожний з гравців прагне так вибрати свою стратегію, щоб отримати для себе найбільшу вигоду і звести до мінімуму вигоду супротивника. В таких іграх кожний гравець діє активно і прагне по можливості використовувати оптимальну стратегію. Проте в багатьох практичних ситуаціях доводиться стикатися з випадками, коли один з гравців виявляється нейтральним, тобто таким, який не прагне отримати для себе максимальної вигоди. До таких ігор відносять ігри, в яких як один з гравців виступає природа. Тут в поняття «природа» вкладається вся сукупність зовнішніх обставин, в яких доводиться ухвалювати рішення.

Природу не можна розглядати як розумного супротивника, який міг би використовувати помилки, що скоїла людиною. Іншими словами, природа не має злого наміру по відношенню до людини. Вона просто розвивається і діє відповідно до своїх законів і у владі людини обернути ці закони собі на користь. Якби людина абсолютно точно знала закони природи, вона могла би їх використовувати з максимальною для себе вигодою. Проте у багатьох випадках людина або не знає закону природи, або знає його недостатньо повно. Неминучою платнею за спробу отримати розв’язок в умовах неповної інформації про закон природи є можливість ухвалення помилкових рішень. При цьому практично ситуації такі, що відмовитися взагалі від ухвалення якого-небудь рішення неможливо. Єдиний вихід з ситуації, що створилася — вироблення людиною такої стратегії відносно ухвалення рішень, яка хоча і не виключає можливість ухвалення неправильних рішень, але зводить до мінімуму пов'язані з цим небажані наслідки. Правда, у людини є ще можливість вивчати супротивника, тобто природу, за допомогою проведення експерименту. Проте цьому заважають дві обставини:

1) на проведення експерименту потрібен час, тоді як рішення у багатьох випадках потрібно ухвалити швидко;

2) експеримент вимагає витрати засобів, тобто може коштувати дорого — дорожче за той виграш, який дають додаткові знання, отримані в результаті експерименту.

Тому важливою задачею людини в грі проти «природи» є ухвалення рішення про те, чи потрібно проводити експеримент, а якщо потрібно, то який, коли його закінчити і які дії зробити після закінчення експерименту.

Ігри, в яких один супротивник — природа, а інший — людина, отримали назву статистичних ігор, а теорію таких ігор називають теорією статичних ігор. Людина, яка бере участь в грі проти природи, надалі називатимемо статистиком.

1.1.2 Суть статистичної гри

Близькою по ідеях і методах до теорії ігор є теорія статистичних рішень. Від теорії ігор вона відрізняється тим, що невизначена ситуація не має конфліктного забарвлення — ніхто нікому не протидіє, але елемент невизначеності в наявності. В задачах теорії статистичних рішень невідомі умови операції залежать не від свідомо діючого «супротивника» (або інших учасників конфлікту), а від об'єктивної дійсності, яку в теорії статистичних рішень прийнято називати «природою». Відповідні ситуації часто називаються «іграми з природою». «Природа» мислиться як якась незацікавлена інстанція, «поведінка» якої невідомо, але в усякому разі не зловмисна. Здавалося б, відсутність свідомої протидії спрощує задачу вибору розв’язку. Виявляється, ні: не спрощує, а ускладнює. Правда, ухвалюючому рішення в «грі з природою» насправді «легше» добитися успіху (адже йому ніхто не заважає), але йому «важче» обгрунтувати свій вибір. В грі проти свідомого супротивника елемент невизначеності частково знімається тим, що ми «думаємо» за супротивника, «ухвалюємо» за нього рішення, найсприятливіше для нас самих. В грі ж з природою така концепція не підходить: хто знає, як себе поведе природа? Тому теорія статистичних рішень — сама «хистка» в значенні рекомендації наука. Все ж таки у неї є право на існування і на увагу з боку осіб, що займаються дослідженням операцій.

1.1.3 Простір стратегій природи

Під стратегією природи розумітимемо повну сукупність зовнішніх умов, в яких доводиться ухвалювати рішення. Цю сукупність зовнішніх умов назвемо станом природи . В загальному випадку існує деяка множина можливих станів природи яка називатиметься простором стану природи, а елемент цього простору – чистими стратегіями природи. [5]

Якби було відоме наперед, яку з своїх чистих стратегій застосовує природа у кожному конкретному випадку, то з упевненістю ухвалювали б рішення на підставі повного знання стану природи. Проте звичайно буває, відомий тільки перелік чистих стратегій природи. Тобто відомий апріорний розподіл вірогідності на просторі станів природи . Цей апріорний розподіл вірогідності називають змішаною стратегією природи.

1.1.4 Простір стратегій статистика і функція втрат

Задача статистика полягає в тому, щоб ухвалити яке-небудь рішення

або виконати яку-небудь дію з сукупності розв’язків або дій. Позначимо можливі дії статистика через .

Кожна з цих дій є чистою стратегією статистика. Множина А= {а1 ..., ai} є простором чистих стратегій статистика.

Статистик повинен уміти оцінити кожну з своїх дій. Для цього він допускає, що скоюючи дію а, може зазнати збитків L(, а),які залежать як від виконуваної дії а, так і від невідомого стану природи . Функція L(, а), що називається функцією втрат, повинна бути наперед визначена для всіх можливих комбінацій і , тобто повинна бути задана на прямому добутку множин . Її можна задавати або аналітично, або по аналогії з матрицею втрат вигляду:

де .

Знання функції втрат дозволяє статистику зробити дії, які є якнайкращими в умовах інформації, яку він має про стан природи. Знання апріорного розподілу вірогідностей дозволяє визначити середні втрати, яких зазнає статистик, виконуючи ту або іншу дію:

Якнайкращою для статистика дією буде байесовська дія а*, при якій втрати будуть мінімальні, тобто

Статистик не обов’язково повинен обмежитись використанням лише однієї чистої стратегії. Він може застосувати суміш чистих стратегій у відповідності до певного ймовірнісного закону розподілу. В цьому випадку статистик буде користуватись змішаною стратегією. Для змішаної стратегії статистик повинен задатися розподілом ймовірностей , який визначає ймовірності, з якими будуть використані чисті стратегії. В загальному випадку статистик має в розпорядженні деякий набір змішаних стратегій , що називається простором змішаних стратегій статистика.

Якщо статистик застосовує змішану стратегію , а природа — змішану стратегію , то середні втрати статистика:

В цьому випадку задача статистика полягає в тому, щоб вибрати таку стратегію , при якій його середні втрати будуть мінімальні, тобто:

Тут статистик не робить спроби уточнити свої знання про дійсний стан природи шляхом проведення експерименту. Тому даний тип статистичної гри може бути названий статистичною грою без експерименту.

1.2 Статистичні ігри без експерименту

1.2.1 Подання статистичної гри без експерименту у вигляді S-гри

Статистична гра може бути подана у вигляді еквівалентної S-гри абсолютно таким же чином, як це робилося в стратегічних іграх. Для цього з кожною з чистих стратегій пов'язуємо точку в m-мірному просторі, координатами якої будуть втрати статистика при різних станах природи . [5]

Розглянемо декілька принципів, якими може керуватися статистик при виборі своєї стратегії. При цьому серед статистиків не існує єдиної думки про те, який з принципів є якнайкращим в статистичних іграх. Іншими словами, не існує універсального правила, що дозволяє вибрати, певний образ дії незалежно від ситуації, що склалася. Хоча можуть бути розбіжності щодо того, що не потрібно робити в даній ситуації, можна прийти до повної згоди щодо того, що не потрібно робити. Це можливо при введенні поняття допустимих стратегій, аналогічного поняттю домінуючих стратегій в стратегічних іграх.

1.2.2 Принципи вибору стратегій в статистичних іграх

Принципом вибору називають правило, що дозволяє визначити якнайкращу змішану стратегію статистика. В різних випадках статистик може користуватися різними принципами вибору своєї стратегії.

Одним з можливих принципів вибору стратегії може бути принцип мінімакса, який успішно застосовують в стратегічних іграх, коли гра ведеться проти розумного супротивника, охочого заподіяти нам найбільшого збитку. Проте у ряді випадків доцільно використовувати цей принцип і в статистичних іграх. Згідно принципу мінімакса статистик вибирає таку змішану стратегію , при якій середні втрати будуть мінімальні при якнайгіршому для нього стані природи . Найгіршим випадком буде таке , коли величина приймає максимальне значення. Цю величину статистик і повинен мінімізувати, тобто вибирати стратегію , яка забезпечує умову:

Іноді доцільно вибирати стратегію, виходячи не з повних втрат L(, а), а з додаткових L’(, а), що визначаються із співвідношень:

L’(, а)= L(, а) - .

Мінімаксні принципи, що витікають з припущення, що природа діє якнайгіршим для статистика чином, є виправданими в стратегічних іграх, але в статистичних іграх вони виражають точку зору дуже обережної людини, що прагне отримати доступне і що не ганяється за нездійсненним, щоб не зазнати випадково великого збитку. Недоліком мінімаксних принципів слід вважати також те, що вони не враховують апріорної інформації про стани природи і тим самим обмежують той виграш, який ця інформація може дати.

Тому мінімаксні принципи можна рекомендувати в тих випадках, коли відсутня апріорна інформація про стани природи або є підстави сумніватися в достовірності цієї інформації. Іншим принципом вибору стратегії, що враховує апріорний розподіл вірогідності , є байесовський принцип. Згідно байесовському принципу змішану стратегію статистика (а) оцінюють шляхом усереднювання втрат по всіх можливих станах природи з урахуванням апріорного розподілу вірогідностей , тобто по величині:

Якнайкращою стратегією (а) при цьому буде така, яка дає мінімум величини . Цю якнайкращу стратегію називають байесовською стратегією.[5] Байесовський принцип, природно, можна застосовувати як до повних, так і до додаткових втрат. Проте в більшості випадків застосовують байесовський принцип до повних втрат.

1.2.3 Допустимі стратегії в статистичних іграх

Припустимо, що розглядаємо змішану стратегію статистика (а). Можуть зустрітися два випадки.

1. Не можна знайти жодній стратегії, кращої ніж (а). Це означає, що не існує такої стратегії (а), для якої:

(1.2.3.1)

при всіх , хоча для деяких співвідношення (1.2.3.1) буде справедливе. В цьому випадку стратегію (а) можна назвати допустимою, але вона може і не бути бажаною, оскільки можуть бути і інші стратегії, які також мають право на увагу.

2. Існує стратегія (а), краща ніж (а). Це означає, що співвідношення (1.2.3.1) для стратегії (а) буде справедливе при всіх . В цьому випадку стратегію (а) потрібно виключити з розгляду на користь стратегії (а), тобто вважати її неприпустимою. Допустимі стратегії зручно розглядати в термінах S-гри. Оскільки в S-грі стратегія статистика визначається точкою S опуклої оболонки S*, а втрати при різних визначаються координатами цієї точки, то стратегія, що визначається точкою S, буде допустимою, якщо не існує іншої точки , у якої всі координати будуть менше відповідних координат точки S. Метод знаходження допустимих стратегій розберемо для випадку, коли простір станів природи складається з елементів і . На мал. 1.2.3.1 показана опукла область S*, що відповідає цьому випадку.

Розглянемо стратегію, що визначається точкою , яка розташовується всередині області S*. Ця стратегія не є допустимою, оскільки всі точки, що лежать на відрізку OS1 усередині S*, визначають кращі стратегії, ніж . Якнайкращою з них є стратегія S, що належить нижній лівій межі області S*. [5]

Тому всі внутрішні точки можна виключити на користь точок, що належать нижній лівій межі області S*, відзначеної на малюнку жирною лінією. Проте зсув точки уздовж цієї межі не дає яких-небудь переваг, оскільки при цьому зменшуються втрати, що відповідають одному стану природи, але збільшуються втрати, що відповідають іншому стану природи. Тому точки, що належать нижній лівій межі області S* і визначають допустимі стратегії статистика.

Мал.1.2.2.1 Допустимі стратегії в S-грі

1.3 Принципи розв’язання статистичних задач

Розглянемо гру з природою: у нас (сторона А) є т можливих стратегій ; що стосується обстановки, то про неї можна зробити п припущень: . Розглянемо їх як «стратегії природи». Наш виграш при кожній парі стратегій заданий матрицею (таблиця 1.3.1).[2, c. 196-199]

Таблиця 1.3.1

Необхідно вибрати таку стратегію гравця А (чисту, або можливо, змішану, якщо це можливо), яка є більш вигідною в порівнянні з іншими.

Найпростіший випадок вибору розв’язку в грі з природою — це випадок коли якась із стратегій гравця А перевершує інші («домінує» над ними), як, наприклад, стратегія А2 в таблиці 1.3.2.

Тут виграш при стратегії А2 при будь-якому стані природи не менше ніж при інших стратегіях, а при деяких — більше; значить потрібний вибирати саме цю стратегію.

Таблиця 1.3.2

Страницы: 1, 2

МЕНЮ

Ігри з природою