Основы моделирования производственных процессов
Основы моделирования производственных процессов
Основы моделирования производственных процессов
Наблюдение, анализ и моделирование являются средствами познания и
прогнозирования процессов, явлений и ситуаций во всех сферах объективной действительности.
Наблюдения за явлениями природы, постановка экспериментов позволили установить
физические законы. Эти законы проявляются в определенных количественных
соотношениях между параметрами процесса или явления независимо от того,
происходят ли они в действительности или их реализацию можно только представить.
Знание физических законов позволяет облечь их в ту или иную
математическую форму, после чего, решая дифференциальные, алгебраические
уравнения или производя другие вычисления, мы получим значения интересующих нас
параметров или показателей.
В процессе моделирования очень важным
является системное представление о рассматриваемом объекте (систематизация),
первое и главное свойство которого – наличие цели, для реализации которой
предназначается рассматриваемая совокупность предметов, явлений, логических
представлений, формирующих объект. Цель функционирования системы редуцирует
системные признаки, с помощью которых описываются, характеризуются элементы
системы. При изменении цели другими могут стать как существенные системные
признаки, так и связи с внешней средой.
Для выделения системы требуется наличие:
·
цели, для реализации которой формируется система;
·
объекта исследования, состоящего из множества элементов, связанных
в единое целое важными, с точки зрения цели, системными признаками;
·
субъекта исследования («наблюдателя»), формирующего систему;
·
характеристик внешней среды по отношению к системе и отражения ее
взаимосвязей с системой.
Наличие субъекта исследования и некоторая неоднозначность,
субъективность при выделении существенных системных признаков вызывают
значительные трудности для однозначного выделения системы и соответственно ее
универсального определения.
Изложенное выше дает возможность
определить систему как упорядоченное представление об объекте исследования с
точки зрения поставленной цели. Упорядоченность заключается в целенаправленном
выделении системообразующих элементов, установлении их существенных признаков,
характеристик взаимосвязей между собой и с внешней средой. Системный подход,
формирование системы позволяют выделить главное, наиболее существенное в
исследуемых объектах и явлениях; игнорирование второстепенного упрощает,
упорядочивает в целом изучаемые процессы. Для анализа многих сложных объектов и
ситуаций такой подход важен сам по себе, однако, как правило, построение
системы служит предпосылкой для разработки или реализации модели конкретной ситуации
или объекта.
Описанный подход предполагает ясность
цели исследования и детерминированное к ней отношение всех элементов системы,
взаимосвязь между ними и с внешней средой. Такие системы называют детерминированными.
Альтернативу представляют системы со
стохастической структурой (случайной природы), когда либо отсутствует ясно
выраженная цель исследования, либо по отношению к ней нет полной
определенности, какие признаки считать существенными, а какие – нет; то же
относится и к связям элементов системы с внешней средой.
Методы построения и
исследования стохастических систем, как правило, более сложны, чем
детерминированных. В некоторых случаях существуют способы сведения
стохастических систем к специальным образом построенным детерминированным.
Структура и свойства
модели зависят от целей, для достижения которых она создается. В этом органическое
единство системы и модели. Если неизвестна цель моделирования, то неизвестно и
с учетом каких свойств и качеств надо строить модель.
Модель определяется как
формализованное представление об объекте исследования с точки зрения
поставленной цели.
Различия между определениями
системы и модели состоят в том, что систематизация предполагают лишь
упорядочение, тогда как моделирование – формализацию взаимосвязей между
элементами системы и с внешней средой.
Под моделированием понимается исследование объектов познания не
непосредственно, а косвенным путем, при помощи моделей.
Типы моделей
Модели можно различать по
ряду признаков: характеру моделируемых объектов, сферам приложения, глубине
моделирования, средствам моделирования. По последнему признаку методы
моделирования делятся на две группы: материальное (предметное) и идеальное.
Материальное моделирование,
основывающееся на материальной аналогии моделируемого объекта и модели,
осуществляется с помощью воспроизведения основных геометрических, физических,
других функциональных характеристик изучаемого объекта. Частным случаем
материального моделирования является физическое моделирование, по отношению к
которому, в свою очередь, частным случаем является аналоговое моделирование.
Оно основано на аналогии явлений, имеющих различную физическую природу, но
описываемых одинаковыми математическими соотношениями. Пример аналогового
моделирования – изучение механических колебаний с помощью электрической
системы, описываемой теми же дифференциальными уравнениями. Так как
эксперименты с электрической системой обычно проще и дешевле, она исследуется в
качестве аналога механической системы.
Идеальное моделирование отличается от материального принципиально.
Оно основано на идеальной, или мыслимой, аналогии. В экономических
исследованиях это основной вид моделирования. Идеальное моделирование, в свою
очередь, разбивается на два подкласса: знаковое (формализованное) и
интуитивное.
Интуитивное моделирование встречается в тех областях науки, где
познавательный процесс находится на начальной стадии или имеют место очень
сложные системные взаимосвязи. Такие исследования называют мысленными
экспериментами. В экономике до последнего времени в основном применялось
интуитивное моделирование; оно описывает практический опыт работников.
При знаковом моделировании моделями служат схемы, графики,
чертежи, формулы. Важнейшим видом знакового моделирования является
математическое моделирование, осуществляемое средствами логико-математических
построений.
Методы математического описания элементов и систем управления
Анализ процессов, происходящих в системах, и эффективное решение
задач расчета, проектирования и конструирования систем и устройств возможны
лишь с применением языка и методов математики. Причем первым этапом при
исследовании или конструировании системы является составление математического
описания (математической модели) ее элементов и системы в целом.
Составление математического описания конструктивного элемента
системы состоит из следующих последовательных процедур: принятие исходных
допущений; выбор входных и выходных переменных; выбор систем отсчета для каждой
переменной; применение физического, экономического или иного принципа или
закона, отражающего в математической форме закономерности протекания процесса.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выбор входных и выходных переменных
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наиболее распространенной, а также
наиболее общей и полной формой описания передаточных свойств систем (автоматических
систем) и их элементов являются обыкновенные дифференциальные уравнения. Для
большинства реальных элементов исходное уравнение, составленное строго в
соответствии с законами физики, оказывается нелинейным. Это обстоятельство
сильно усложняет все последующие процедуры анализа. Поэтому всегда стремятся
перейти от трудно разрешимого нелинейного уравнения к линейному
дифференциальному уравнению, обычно записываемого в символической или
операторной форме, вида
(a0pn + a1pn-1
+… + an) y(t) = (b0pm + b1pm-1
+… + bm) x(t),
где: x(t) и y(t) – соответственно входная и выходная величины
элемента или системы;
ai, bi – коэффициенты уравнения;
p – оператор, сокращенное условное
обозначение операции дифференцирования: d/dt = p.
Еще одним из распространенных методов описания и анализа
автоматических систем является операционный. В основе метода лежит
преобразование Лапласа
X(p) = L [x(t)] = x(t) e-pt dt,
которое устанавливает соответствие между
функциями действительной переменной t и функциями комплексной переменной p.
Функциональные элементы, используемые в
системах управления, могут иметь самое различное конструктивное исполнение и
самые различные принципы действия. Однако общность математических выражений,
связывающих входные и выходные величины различных функциональных элементов,
позволяет выделить ограниченное число так называемых типовых алгоритмических
звеньев. Каждому такому звену соответствует определенное математическое
соотношение между входной и выходной величинами. Если это соотношение является
элементарным (например, дифференцирование, умножение на постоянный
коэффициент), то и звено называется элементарным.
Алгоритмические звенья, которые
описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго
порядка, получили название типовых динамических звеньев. Наиболее часто
встречающиеся звенья: безынерционное (пропорциональное), инерционное первого
порядка (апериодическое), инерционное второго порядка (апериодическое или
колебательное), интегрирующее, дифференцирующее, изодромное
(пропорционально-интегрирующее), форсирующее (пропорционально-дифференцирующее),
интегро-дифференцирующее (с преобладанием интегрирующих либо дифференцирующих
свойств), запаздывающее.
Приведем примеры реальных устройств,
которые соответствуют определению типового динамического звена.
Типичный пример безынерционного звена, являющегося простейшим среди
всех типовых звеньев, – редуктор. Его передаточные свойства описываются алгебраическим
уравнением
или
,
где k = b/a – передаточный коэффициент
редуктора, который зависит от соотношения диаметров или чисел зубьев ведомой и
ведущей шестерен.
Реальными интегрирующими звеньями являются электрические
исполнительные двигатели постоянного и переменного тока. Дифференциальное
уравнение (в операторной форме) идеального интегрирующего звена выглядит
следующим образом:
,
где k – коэффициент
пропорциональности, зависящий от конструктивных параметров устройства.
Запаздывающее звено передает сигнал со
входа на выход без искажения его формы. Однако все мгновенные значения входной
величины выходная величина принимает с некоторым отставанием (запаздыванием).
Способностью задерживать сигнал во времени, не изменяя его формы, обладают
многие элементы промышленных автоматических систем. В первую очередь к таким
элементам относятся транспортирующие устройства – конвейеры и трубопроводы.
Уравнение запаздывающего звена
,
где t – время запаздывания.
В операционной форме передаточная
функция запаздывающего звена выглядит следующим образом:
Если запаздывающее звено входит в контур
системы управления, то характеристическое уравнение системы будет уже не
простым алгебраическим, а трансцендентным. Решение и анализ трансцендентных
уравнений связаны с большими трудностями. Поэтому часто в практических расчетах
трансцендентную передаточную функцию (1.7) раскладывают в ряд Пада и, учитывая
только первые два члена ряда, приближенно заменяют ее дробно-рациональной
функцией:
Запаздывающие звенья в большинстве случаев ухудшают устойчивость
систем и делают их трудно управляемыми.
В заключение необходимо отметить, что методика анализа, основанная
на расчленении системы на типовые звенья, широко вошла в практику инженерных
расчетов, выполняемых в процессе конструирования, и в настоящее время является
доминирующей.
Литература
1.
Стехин А.П. Основы конструирования, моделирования и проектирования
систем управления производственными процессами: Учеб. пособие. – Донецк:
ДонГАУ, 2008.
2.
Лукас В.А. Основы теории автоматического управления. – М.:
«Недра», 1977.
3.
Основы теории оптимального управления: Учеб. Пособие для эконом.
вузов/ В.Ф. Кротов, Б.А. Лагоша, С.М. Лобанов и др.; Под ред. В.Ф. Кротова. –
М.: Высш. Шк., 2008.
4.
Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в
экономике. – М.: «Наука», 2007
|