Расчет тарифных ставок в страховании

p> Таблица смертности – числовая модель процесса вымирания по возрастам некоторой абстрактной совокупности людей.

Прежде чем начать непосредственное описание методов расчета страховых аннуитетов и нетто-тарифов, необходимо сформулировать обще принципы определения нетто-премий в личном страховании.

В страховании жизни, как и в любом из видов страхования должно соблюдаться условие превышения страховых премий над страховыми выплатами
(Е(Р)+I>=E(S)), где I – доход от инвестиций временно свободных средств.
Величина страховых выплат является случайной величиной, и нельзя заранее предсказать точную сумму страховых выплат. За счет большого числа застрахованных, статистические данные однородны и обладают должной степенью надежности. Поэтому, вероятность отклонения реальных величин от их математического ожидания ничтожно мала. Вследствие этого, в актуарных расчетах принято использовать вероятную (ожидаемую) стоимость выплат. Тоже происходит и суммами нетто-премий. Их величина зависит от случайной величины S, а, следовательно, является величиной случайной.

К моменту осуществления выплат страховщик должен обладать фондом, равным вероятной стоимости выплат. Он определяет для себя будущую стоимость выплат и размер требуемого страхового фонда. Так как страховщик инвестирует свободные средства, то они ему приносят доход, который изменяется в зависимости от нормы доходности r, темпа инфляции (h), и ставки налогов
(g). Тогда дисконтирование происходит по скорректированной ставке i=r(1- g)+h/100. Страховая премия выплачивается в момент заключения договора, то есть в современный момент времени, а страховые выплаты спустя определенное время. Поэтому, для их сравнения необходимо дисконтировать страховые выплаты, приводя их стоимость к сегодняшнему дню.

В страховании жизни нетто-премии иногда уплачиваются не одной суммой, а серией платежей, в различные периоды времени (в рассрочку). Для их учета страховщику приходится как нетто-премии, так и страховые выплаты приводить к одному моменту времени, иначе, при незапланированном прекращении договора, страховщик недополучит часть причитающихся ему премий.

Вышесказанное можно представить в виде неравенств, которые показывают основные принципы расчета тарифных ставок:
1. E+I>S – Нетто-премия с учетом дохода, от инвестиций должна превышать страховую выплату.

Если данное равенство не будет соблюдаться, то страховщик обанкротится.
2. E+I>Sp – Сумма выплат – величина случайная, так как неизвестно по каким договорам приходится возмещать ущерб. Поэтому в актуарных расчетах применяют ее наиболее вероятное значение (Sp).
3. E>Sp-I – Современная вероятная стоимость выплат (разница между суммой выплат и накопленных доходов) не должна превышать стоимость единовременной нетто-премии.
4. Ep-IE>Sp-I – Сравнение вероятной стоимости выплат происходит не с реальными суммами нетто-премий, а с их наиболее вероятным значением

(математическим ожиданием). Современная вероятная стоимость нетто-премий, уплаченных в рассрочку, должна быть меньше, чем современная стоимость выплат.

Получается, что нетто-премии – доходы страховой компании, а страховые выплаты – ее расходы, причем и те и другие носят случайный характер. Так как в страховании жизни затронуты значительные периоды времени, в рамках которых изменяется стоимость денег пропорционально ставке i, то расчетные данные необходимо приводить к одному моменту времени.

Принцип финансовой эквивалентности (P=Sq) в страховании жизни несколько видоизменен. Пусть P – размер премии, qn – вероятность страхового события (смерть застрахованного через n лет после начала страхования). Если страховое событие произойдет на первом году страхования, то страховщик получит сумму Р, если на втором году – 2Р, и т.д. Математическое ожидание такого ряда премий составит: Pq1+2Pq2+3Pq3+…+nPqn. Однако, премия выплачивается в разные моменты времени. С учетом этого фактора данную величину необходимо привести к одному моменту времени (к начальному):
E(P)=P(q1+(1+v)q2+(1+v+v2)q3+…+(1+v+…+vn-1)qn), где v=(1+i)-1-дисконтный множитель. Е(Р) – дисконтированное математическое ожидание страховых премий.

Теперь рассмотрим совокупность страховых выплат. Допустим, они выплачиваются в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sq1, во втором году
- Sq2, и т.д. С учетом фактора времени математическое ожидание страховых выплат выглядит так: E(S)=S(vq1+v2q2+…+vnqn)/

Как известно, E(S)=E(Р). Подставляя известные значения в данное равенство можно определить размер нетто-премии.

Зная основные принциы формирования нетто-премии в страховании жизни можно перейти к рассмотрению методов ее расчета. Итак, основной показатель таблицы смертности – число людей lx в возрасте х лет, оставшихся в живых из первоначальной совокупности l0 (обычно равной 100000 человек). Величины lx
(кроме l0) определяют расчетным путем на основе заданных вероятностей смерти (qx) в возрасте х лет, или на основе количества умерших (dx).
Указанные вероятности получают на основе данных статистики населения с последующим усреднением и сглаживанием.

Показатели таблицы смертности связаны следующими соотношениями:
- lx+1=lx-dx;
- dx=lx*qx;
- qx=1-px=1-lx+1/lx=dx/lx .

Для определения страховых тарифов необходимо знать страховые вероятности в страховании жизни и действия над ними:
1. npx=lx+n/lx – вероятность прожить n лет лицо, дожившим до возраста х лет.
2. px=1-qx=1-dx/lx=lx+1/lx – вероятность человеком, дожившим до х лет, прожить еще 1год.
3. nqx=1-npx=(lx-lx+n)/lx – вероятность умереть в интервале возрастов от x лет до n лет.
4. mqx=mpx*qx+m=(lx+m/lx)*(dx+m/lx+m)=dx+m/lx - вероятность дожить до возраста х лет и умереть в возрасте x+m лет в течении 1 года.
5. m/nqx=mpx*nqx+m=(lx+m/lx)*(lx+m-lx+m+n)/lx+m=(lx+m-lx+m+n)/ lx – вероятность дожить до x+m лет и умереть в возрасте от x+m лет до x+m+n лет.

Для упрощения расчетов и сокращения записи формул в таблицах смертности используются коммутационные функции. Их смысл сложно интерпретировать, поэтому они должны восприниматься как чисто технические вспомогательные средства. Их можно разделить на две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного возраста, вторых – числа умерших.
1. Dx=lx*vx
2. [pic], где w-предельный возраст, учитываемый в таблице смертности.
- Nx=Nx+1+Dx; Nw=Dw
- [pic](Nx+1-Nx+2)+(Nx+2-Nx+3)+…+Nx+k-Nx+k+1=Nx+1-Nx+k+1
3. Cx=dx*vx+1; Cx=dx*vx+1=(lx-lx+1)*vx+1=lx*vx*v-lx+1*vx+1=Dx*v-Dx+1
4. [pic]; [pic]

Страхование на дожитие.

Страхователь и страховщик договариваются между собой о том, что второй выплатит первому страховую сумму S, если он доживет до возраста n. В обмен на данные условия страхователь предлагает заплатить страховщику нетто- премию, которая равна произведению страхового тарифа и размера выплаты
(nEx*S). Нетто-премия может уплачиваться единовременно, а может в рассрочку, что ведет к различной методике расчета:
1. Нетто-премия уплачивается единовременно. В этом случае страхователь обязательно ее заплатит, иначе договор не будет заключен. Страховая выплата зависит от того, доживет ли страхуемый до n лет или нет. Поэтому, при ее расчете применяется математическое ожидание от суммы выплаты

(S*npx). Страховая выплата произойдет только через n лет после заключения договора, поэтому ее необходимо привести к моменту уплаты нетто-премии

(S*npx*vn). Используя принцип финансовой эквивалентности (обязательства должны быть равны), получается:
- nEx*S = S*npx*vn
- nEx= npx*vn= (lx+n/lx)* vn
- nEx= (lx+n*vx+n/lx*vx+n)* vn=Dx+n/Dx
2. Нетто-премия уплачивается в рассрочку. Здесь нетто-премия представляет собой поток платежей от страхователя страховщику, при этом все платежи составляющие нетто-премию в данном виде страхования – суммы фактические, а не вероятные, так как если человек умрет раньше времени, то он не получит страховую сумму, а у страховщика останется часть нетто-премий, которые он никому не должен. Пусть, страховые премии уплачиваются в течении t лет, в начале каждого года. Тогда P1*S – премия уплаченная в первом году, Р2*S – премия уплаченная во втором году и т.д.
- (P1+P2*v+…+Pt*vt-1)*S = S*npx*vn
- Если платежи одинаковы, то P(1+v+v2+…+vt-1)=npx*vn или [pic]

Страхование жизни.

Этот вид страхования называют также страхованием на случай смерти.
Страховая сумма, равная S, выплачивается в случае смерти застрахованного.
Страховой договор заключается страхователем в x лет на срок n лет. Здесь также следует рассмотреть два случая:
1. Нетто-премия уплачивается единовременно. Тогда обязательства страхователя равны произведению страхового тарифа и страховой суммы

(S*nAx). Нетто-премия – основное условие заключение договора, поэтому ее величина для страховщика реальная, а не вероятная. Если выплаты страховых сумм происходят в конце года, и страхователь умрет в 1-ый год, то страховая сумма будет равна S*qx*v (qx – вероятность умереть в возрасте х лет); если во второй год, то страховщик должен будет заплатить S*2qx*v2=S*v2*dx+1/lx;
- если умрет в третий год – страховая выплата = S*v3*dx+2/lx и так далее.
- В силу финансовой эквивалентности:
S*nAx=S*dx/lx*v+ S*dx+1/lx*v2+S*dx+2/lx*v3+…+S*dx+n-1/lx*vn
- Умножим и разделим данное выражение на vx, тогда: nAx=(dx/Dx)*vx+1+(dx+1/Dx)*vx+2+(dx+2/Dx)*vx+3+…+(dx+n-1/Dx)*vx+n=1/Dx
*(Cx+Cx+1+…+Cx+n-1)
Mx=Cx+Cx+1+…+Cx+n-1+Cx+n+Cx+n+1+…+Cw
Mx+n= Cx+n+Cx+n+1+…+Cw
Mx-Mx+n= Cx+Cx+1+…+Cx+n-1 nAx= 1/Dx *(Mx-Mx+n)
- Если страхование пожизненное, то nAx= Mx/Dx
2. Нетто-премия вносится в рассрочку. Пусть рассрочка осуществляется посредством равных платежей (P) пренумерандо (в начале года) в течении t лет. В данном случае нетто-премия представляет собой поток платежей, ограниченный периодом t. При этом каждый член этого потока, является случайной величиной, так как при наступлении страхового случая платежи прекратятся, а страховщик должен будет уплатить всю страховую сумму страхователю. Наступление каждого последующего платежа не определено, так как неизвестно наступит ли страховой случай. Страховщик должен учитывать, что если он произойдет, то он потеряет не только страховую сумму, но и премии.
- Исходя из принципа финансовой эквивалентности можно записать следующие выражение: S*(P+P*px*v+P*2px*v2+P*3px*v3+…+P*t-1pxvt-1) = S*dx/lx*v+

S*dx+1/lx*v2+S*dx+2/lx*v3+…+S*dx+n-1/lx*vn
- P*(1+lx+1/lx*v+lx+2/lx*v2+lx+3/lx*v3+…+lx+t-1/lx*vt-1)= (Mx-Mx+n)/Dx
- P*( 1+lx+1/lx*v+lx+2/lx*v2+lx+3/lx*v3+…+lx+t-1/lx*vt-1)* (vx/vx)= (Mx-

Mx+n)/Dx
- [pic]
- [pic]

Страховые выплаты, а иногда и страховые премии представляют собой поток платежей, что в финансовой математике называется аннуитетом
(страховой рентой). Стоимость страхового аннуитета, по сути, является отправным моментом в актуарной математике. Как известно, платежи могут вносится в начале года – пренумерандо, и в конце года - постнумерандо. В зависимости от этого различаются и виды аннуитетов. Кроме этого в страховании ренты делятся в зависимости от интервала времени, в котором производятся платежи. Аннуитет уже применялся в приведенных выше расчетах.
Далее он будет рассмотрен более подробно, так как широко используется в пенсионном и других видах страхования, о которых речь пойдет ниже.

Пенсионное страхование.

С экономической точки зрения обеспечение пенсиями по старости на базе негосударственных пенсионных фондов – это долгосрочный инвестиционный процесс, на первом этапе которого осуществляются вложения (пенсионные взносы) и последовательное наращение вложенных сумм за счет инвестиций свободных денежных средств, на втором – получение отдачи от накоплений в виде периодических пенсий.

Пенсионное страхование делится на два вида:
1. Нефондируемые – выплата пенсий осуществляется из текущих поступлений. В этом случае страховые тарифы не рассчитываются.
2. Накопительные – для выплаты пенсий создаются специализированные фонды.

Они в свою очередь делятся также на три вида схем страховых выплат:
- Сберегательные – данная схема не учитывает вероятность дожития каждого участника фонда, предусматривается наследование накоплений, отсутствует солидарность участников в обеспечении выплат (при смерти одного из участников его вклад не идет на выплату пенсий), оговаривается конкретный срок выплат.
- Страховые – участники солидарны между собой, учитывается вероятность дожития застрахованных, нет наследования накоплений.
- Смешанные сберегательно-страховые – здесь предусматривается последовательное использование описанных выше схем, то есть, например, в период накопления применяется сберегательная схема, а в период выплат – страховая.

Расчет тарифных ставок в пенсионном страховании основывается на принципе финансовой эквивалентности (равенстве обязательств). С практической точки зрения основа всех расчетов – страховые аннуитеты. При применении любой из пенсионных схем с использованием специализированного фонда необходимо решить две задачи:
1. Определение размера пенсии по величине установленных взносов ( расчет величины взносов по заданным размерам пенсии)
2. Расчет страховых резервов.

Сберегательные схемы.

В данном случае пенсия представляет собой финансовый аннуитет, в котором не учитываются вероятности дожития до определенного возраста, то есть, что человек вкладывает, то он и получает, с учетом доходности на вложенные средства. Рассчитывать пенсии можно двумя методами:
1. Взносы уплачиваются единовременно. Данная схема отображена на графике.

Видно, что после уплаты в фонд первоначальной суммы, она накапливается с годами (срок n лет), пропорционально норме доходности до момента начала выплат пенсий. После чего накопленные в фонде средства постепенно расходуются, до тех пор, пока не кончатся совсем (срок t лет). В силу финансовой эквивалентности, некоторые из приведенных на графике обозначений можно объединить следующим выражением: [pic]
2. Премия уплачивается в рассрочку. Здесь схема похожа на предыдущую, это подтверждает график, нарисованный справа. Разделенные на равные части премии представляют собой поток платежей, поэтому накопление происходит медленнее, чем в первом случае, при прочих равных условиях. Период выплат такой же, как и в первом случае. Математически данную схему можно отобразить следующим выражением:[pic]

Преобразовывая приведенные выше равенства, не составит труда определить как размер требуемой пенсии, та к и размер необходимой величины премии, которую нужно внести в пенсионный фонд для обеспечения себя нужной пенсией. Кроме этого, можно определить срок , в который необходимо внести платеж, для обеспечения заданной величины пенсии, или срок в течении которого будет уплачиваться накопленная в фонде пенсия.

Страховые схемы.

По сути дела пенсионное страхование является одним из видов страхования на дожитие. Если бы пенсия выплачивалась разовой выплатой, то эти два вида страхования были бы полностью одинаковыми. Существенным отличием здесь является то, что пенсия представляет собой страховой аннуитет. То есть каждая последующая выплата зависит от вероятности дожития лица до следующей выплаты. Кроме этого, все платежи приводятся здесь к начальному моменту времени (момент вклада первого взноса).

Нетто-премия в данном виде страхования может быть определена при двух условиях, когда она вносится единовременно и когда платежи вносятся в рассрочку. Система определения нетто-тарифов основывается на принципе финансовой эквивалентности обязательств страховщика и страхователя, поэтому, приведенные ниже тождества отличаются от предыдущих лишь некоторыми нюансами.
1. Нетто-премия вносится единовременно. Здесь нетто тариф равен стоимости аннуитета , соответствующего условиям выплат пенсии, а нетто-премия – произведению нетто-тарифа на размер пенсии. Условия выплат, в данном случае, влияют на применяемый в расчетах вид аннуитета. Рассмотрим некоторые из них:
- Пенсия буде выплачиваться с возраста x лет пожизненно, в начале года:

[pic]
- Пенсия будет выплачиваться с возраста x+n лет пожизненно, в начале года:

[pic]
Зная формулы для определения аннуитетов, можно определить размер пенсии и размер нетто-премий для любого варианта пенсионного обеспечения.
2. Нетто-премия вносится в рассрочку. Для обеспечения себя достаточной пенсией нужно вносить в пенсионный фонд большую сумму средств, которой мы не всегда располагаем, или достаточно большим интервалом времени до момента выплат пенсий, что чревато риском развала страховой компании и прочими рисками, связанными с нестабильностью политических и экономических систем. Удобным вариантом вложения средств является данная схема, которая позволяет не в ущерб себе и близким вносить часть доходов в пенсионный фонд, обеспечив себя в будущем должной пенсией. Платежи можно вносить как ежемесячно, так и раз в год. Здесь буде рассмотрен 2-ой вариант. В данном случае, как размер пенсии, так и вкладываемые средства зависят от вероятности дожития, поэтому, в приведенных ниже уравнениях финансовой эквивалентности, как слева, так и справа используются страховые аннуитеты. Например, взносы делаются раз в год начиная с возраста x лет до возраста x+t лет, а пенсия выплачивается с возраста x+n лет, пожизненно. Как взносы, так и пенсии уплачиваются в конце каждого года: [pic]. Если взносы производятся в начале года, то в данном случае применяется аннуитет пренумерандо: [pic].

Так применяя различные виды аннуитетов, можно построить различные варианты пенсионных схем. Здесь, как и везде выше, все равенства строятся по принципу финансовой эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. Исходя из составленных равенств, можно определить помимо ежегодных взносов, размер ежегодной пенсии и наоборот.

Страховые резервы.

При уплате страхователем страховой премии выполняет свои финансовые обязательства, и обязывает страховщика отвечать по договору страхования. То есть страховщик, по сути, становится кредитором страхователя. И если наступает страховой случай, то страховщик обязуется уплатить страхователю страховую сумму. Чтобы суметь произвести обещанные выплаты, страховщику необходимо создать резервы.

В личном страховании существуют резервы двух типов:
- резервы по страховым случаям, подлежащим урегулированию (резервы по уже произошедшим, но не оплаченным страховым событиям)
- резервы по текущим (действующим) договорам.

Страховой резерв отражает долг страховщика перед страхователем.
Обязательства страховщика носят вероятностный характер, так как страховой случай может не произойти, и все средства страхователя останутся у страховщика, долг исчезнет. Кроме того выплаты страховых премий и страховой суммы не совпадают во времени, а, следовательно, имеет место эффект накопления. Поэтому при расчете математических резервов необходимо использовать современную вероятную стоимость обязательств.

Из данной схемы видно, что математические резервы – это разница между обязательствами компании и обязательствами перед компанией. Исходя из приведенных выше рассуждений, можно изменить данное определение, а, именно, страховой резерв – разница между современной вероятной стоимостью будущих обязательств страховщика и современной вероятной стоимостью будущих обязательств страхователя. Так как страховые резервы накапливаются у страховщика, то они достигают со временем огромных размеров, которые можно эффективно инветировать. Однако, при использовании этих средств, необходимо помнить, что они принадлежат страхователям, и являются активами, направленными на выполнение обязательств перед страхователями.

Резерв можно определить на любой момент действия страхового контракта.
Для понимания сущности страхового резерва рассмотрим несколько вариантов его определения:
1. Определение математического резерва в момент заключения договора до первой выплаты премии. При этом, предусматриваются пожизненные взносы в начале года Рх. Тогда, по определению: [pic], где Ax – современная стоимость неких обязательств страховщика, 0Vx – размер страхового резерва в возрасте х лет, в момент заключения договора. Так как, страхователь еще не заплатил ни одной страховой премии, то страховщик также ему ничего не должен, поэтому 0Vx=0. С математической точки зрения, страховой резерв – разница между некоторым постоянным числом и ожидаемой суммой поступлений от страхователя. Размер резерва зависит от страховой суммы, размера страховой премии, доходности от инвестиций и периода сделки.
2. Если страховые премии уже выплачиваются страхователем в течении времени t, тогда величина страхового резерва определяется по формуле:[pic]
3. Страхование на дожитие. В данном случае страховые премии уплачиваются одним платежем в момент заключения договора, а после истечения срока t (в момент x+t) выплаты уже не ожидаются, поэтому величина резерва определяется современной величиной обязательств страховщика, зависящих от уплаченной нетто-премии: tVx=Ax+t. Современная вероятная стоимость обязательств будет определяться в зависимости от страховой суммы R, вероятности дожития от возраста x+t до возраста x+n, а также ставкой доходности, сроком страхования и моментом заключения сделки: [pic].
4. Если в страховании на дожитие страховые премии уплачиваются в рассрочку, на протяжении всего срока страхования, до наступления страхового случая

(период t), исходя из определения страховго резерва, его величина определяется по формуле: [pic], где р – страховой тариф.
5. Накопленные в страховой компании средства инвестируются в различные виды деятельности, следовательно, на них начисляется процент. В данном случае, возникает путаница между страховым резервом и накопленной суммой, так как кажется, что страховщик, чтобы обеспечить возврат средств страхователю, при наступлении страхового случая, накапливает их по обычной схеме наращения (как в банке). Пусть нетто-премия увеличивается на коммерческом счете по ставке i% в до момента x+t, тогда наращенная сумма определется по формуле: [pic]. А в этот же момент времени страховой резерв определяется выражением:[pic]. То есть страховой резерв больше чем наращенная нетто-премия, если вероятность дожития до момента t не равна единицы. Это очевидно, так как если бы вероятность наступления страхового события не влияла на величину страховой суммы, или обязательств страховщика, то клиенту, было бы выгоднее положить деньги в банк, а не застраховаться. Величина страхового резерва – есть величина наращенной нетто-премии, который изменяется, обратно пропорционально вероятности дожития от х лет до возраста x+t лет. Чем больше вероятность умереть в этом интервале, тем меньше страховой резерв. Страховой резерв и страховые суммы больше, чем банковский процент, так как в страхователи несут солидарную ответственность перед друг другом, в зависимости от вероятности наступления страхового случая. То есть, если страховое событие не наступит, то часть средств не полученных страхователем получит кто-нибудь другой.
6. Страхование жизни. По определению имеем: [pic]. При уплате нетто-премии единовременным платежем, после момента времени x+t взносы страхователь не уплачивает, следовательно, правая часть равенства определяется лишь обязательствами страховщика Аx+t. Тогда, [pic]. Аналогично данным преобразованиям выводятся формулы для расчета страхового резерва при платежах в рассрочку. Все данные приводятся к моменту времени x+t.
7. Страхование пенсии. Рассмотрим вариант, когда страховая премия уплачивается единовременно в возрасте x лет, а пенсия выдается с возраста

L лет (L>x) пожизнено. Тогда весь период от возаста x до предельного возраста можно разделить на два временных интервала. В первом происходит накопление средств – период до выплаты пенсии (L-x), а во втором периоде, с продолжительностью (w-L) – выплата пенсий (расходование средств).

Схематично это можно увидеть на представленном выше графике, показывающем накопление страховых премий и их расходование. На начало взноса резерв равен страховой премии, или современной стоимости страховых выплат. Пусть размер годовой пенсии равен R, а ее выплата происходит в начале года, тогда [pic]. Далее, в интервале от х лет до L лет, резерв увеличивается пропорционально норме доходности: [pic]. Здесь имеется ввиду, что от момента х лет проходит срок t

Страницы: 1, 2

МЕНЮ

Расчет тарифных ставок в страховании